W rozdziale tym opiszemy metodę stabilizacji równań adwekcji-dyfuzji zwaną Streamling Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) wprowadzoną przez prof. T. J. R. Hughesa. Metoda ta opisana jest na przykład w pracy [1].
Przypomnijmy najpierw problem adwekcji-dyfuzji, problem modelowy Erikksona-Johnsona, opisany na przykład w pracy [2].
Problem zdefiniowany jest na obszarze kwadratowym \( \Omega = [0,1]^2 \) w następujący sposób: Szukamy funkcji \( u \) takiej że
\( a(u,v)=l(v) \forall v \) gdzie
\( a(u,v) =\int_{\Omega} \beta_x(x,y) \frac{\partial u(x,y) }{\partial x } dxdy + \int_{\Omega} \beta_y(x,y) \frac{\partial u(x,y)}{\partial y } dxdy \\ +\int_{\Omega} \epsilon \frac{\partial u(x,y) }{\partial x} \frac{\partial v(x,y)}{\partial x } dxdy +\int_{\Omega} \epsilon \frac{\partial u(x,y)}{\partial y } \frac{\partial v(x,y)}{\partial y } dxdy \)
\( l(v) = \int_{\partial \Omega } f(x,y) v dxdy \)
\( f(x,y)=sin(\pi y)(1-x) \) jest rozszerzeniem warunku brzegowego Dirichleta na cały obszar, natomiast \( \beta = (1,0) \) reprezentuje wiatr wiejący z lewej strony na prawą, natomiast \( \epsilon = 10^{-6} \) oznacza współczynnik dyfuzji.
Metoda stabilizacji SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) modyfikuje nasze równanie dodając pewne człony które nie zmieniają "sensu" równania, natomiast wymuszają spełnienie warunku inf-sup
\( a(u,v) +{ \color{red}{\sum_K (R(u)+f,\tau \beta\cdot \nabla v)_K } }=l(v)+ {\color{blue}{\sum_K (f,\tau \beta\cdot \nabla v)_K } } \quad \forall v\in V \)
gdzie
\( R(u)=\beta \cdot \nabla u + \epsilon \Delta u-f =\frac{\partial u}{\partial x }+\epsilon \Delta u-f \) reprezentuje reziduum naszego rozwiązania, czyli błąd pomiędzy lewą i prawą stroną, wynikający z dyskretyzacji naszego problemu. Innymi słowy, na poziomie ciągłym, w abstrakcyjnych nieskończenie wymiarowych przestrzeniach funkcyjnych (które teoretycznie pozwalają na dokładne przybliżenie rozwiązania) reziduum wynosi zero (w abstrakcyjnych przestrzeniach nieskończenie wymiarowych nie popełniamy błędu). Jednakże, ponieważ używamy siatki obliczeniowej i skończonej liczby funkcji aproksymacyjnych, reziduum na poziomie dyskretnym zmierzy nam błąd metody.
\( \tau^{-1}=\left(\frac{\beta_x}{h_x} + \frac{\beta_y}{h_y} \right) + 3\epsilon \frac{1}{h_x^2+h_y^2} \)
\( \epsilon=10^{-6} \)
\( \beta = (1,0) \)
\( h_x,h_y \) to rozmiary elementu (nasze całki dzielimy na poszczególne elementy i na każdym elemencie liczymy całkę zmodyfikowaną z pomocą wzoru zawierającego średnicę elementu), oraz
\( (u,v)_K = \int_K uvdx \) oznacza iloczyn skalarny nad elementem \( K \).